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      全國乙2022年高考數學壓軸卷(文)

      2022-07-111 9.99元 17頁 1.22 MB
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      (全國乙)2022年高考數學壓軸卷文一.選擇題:本題共12個小題,每個小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.設集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},則M∩N=()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2)2.已知復數z=1﹣i,則=( ?。〢.2B.﹣2C.2iD.﹣2i3.命題“x≥1,都有lnx+x﹣1≥0”的否定是( ?。〢.x≥1,都有lnx+x﹣1<0B.∃x0<1使得lnx0+x0﹣1<0C.∃x0≥1使得lnx0+x0﹣1≥0D.∃x0≥1使得lnx0+x0﹣1<04.將6個相同的小球放入3個不同的盒子中,每個盒子至多可以放3個小球,且允許有空盒子,則不同的放法共有( ?。┓NA.10B.16C.22D.285.如圖,網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖.則該幾何體的體積為()A.B.C.D.6.執行如圖所示的程序框圖,輸出的結果為()17,A.4B.5C.6D.77.設變量,滿足約束條件則目標函數的最小值為()A.3B.16C.6D.48.已知向量,滿足||=2,||=2,與﹣夾角的大小為,則•=( ?。〢.0B.C.2D.﹣19.已知函數,則下列說法正確的是()A.f(x)的最小正周期為B.f(x)的最大值為2C.f(x)在上單調遞增D.f(x)的圖象關于直線對稱10.函數的大致圖象為( ?。〢.17,B.C.D.11.已知等差數列{an}中,,,則等于()A.15B.30C.31D.6412.已知雙曲線=1的右焦點為F,點M在雙曲線上且在第一象限,若線段MF的中點在以原點O為圓心,|OF|為半徑的圓上,則直線MF的斜率是( ?。〢.B.C.D.一.填空題:本題共4個小題,每個小題5分,共20分.13.已知奇函數y=f(x)的周期為2,且當x∈(0,1)時,f(x)=log2x.則f(7.5)的值為  .14.等比數列{an}(n∈N*)中,若a2=,a5=,則a8= ?。?5.在△ABC中,已知AB=9,BC=7,cos(C﹣A)=,則cosB= ?。?6.在平面直角坐標系xOy中,已知,A,B是圓C:上的兩個動點,滿足,則△PAB面積的最大值是__________.17,三、解答題:本題共5個小題,第17-21題每題12分,解答題應寫出必要的文字說明或證明過程或演算步驟.17.如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=,cosA=,cos∠ADB=.(Ⅰ)求cos∠BDC;(Ⅱ)求BC的長.18.2020年寒假是特殊的寒假,因為疫情全體學生只能在家進行網上在線學習,為了研究學生在網上學習的情況,某學校在網上隨機抽取120名學生對線上教育進行調查,其中男生與女生的人數之比為11∶13,其中男生30人對于線上教育滿意,女生中有15名表示對線上教育不滿意.(1)完成2×2列聯表,并回答能否有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”;滿意不滿意總計男生女生合計120(2)從被調查中對線上教育滿意的學生中,利用分層抽樣抽取8名學生,再在8名學生中抽取3名學生,作線上學習的經驗介紹,其中抽取男生的個數為,求出的分布列及期望值.參考公式:附:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0720.7063.8415.0246.6357.8791082817,19.如圖,ABCD﹣A1B1C1D1是棱長為1的正方體.(Ⅰ)求證:平面A1BD⊥平面A1ACC1;(Ⅱ)點P是棱AA1上一動點,過點P作平面α平行底面ABCD,AP為多長時,正方體ABCD﹣A1B1C1D1在平面α下方的部分被平面A1BD截得的兩部分的體積比是1:3.20.已知橢圓C1:=1(a>b>0),其右焦點為F(1,0),圓C2:x2+y2=a2+b2,過F垂直于x軸的直線被圓和橢圓截得的弦長比值為2.(1)求曲線C1,C2的方程:(2)直線l過右焦點F,與橢圓交于A,B兩點,與圓交于C,D兩點,O為坐標原點,若△ABO的面積為,求CD的長.21.設函數f(x)=x2﹣a(lnx+1)(a>0).(1)證明:當a≤時,f(x)≥0;(2)若對任意的x∈(1,e),都有f(x)≤x,求a的取值范圍.選考題:共10分,請考生在22、23兩題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分.作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.22.[選修4—5:坐標系與參數方程]在直角坐標系xOy中,直線的參數方程為(為參數),曲線C的參數方程為(,,為參數),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,且曲線C的極坐標方程為.(1)求,,的值;17,(2)已知點P的直角坐標為,與曲線C交于A、B兩點,求.23.[選修4—5:不等式選講]已知函數.(1)若,解不等式;(2)若對任意,求證:.17,參考答案1.【答案】C【解析】,故選:C2.【答案】A【解析】解:將z=1﹣i代入得,故選:A.3.【答案】D【解析】解:命題為全稱命題,則命題的否定為:∃x0≥1,使得lnx0+x0﹣1<0,故選:D.4.【答案】A【解析】解:根據題意,分3種情況討論:①2個盒子各放3個小球,一個盒子是空的,有C32=3種放法,②若每個盒子放2個小球,有1種放法,③若1個盒子放1個小球,1個盒子放2個小球,最后一個放3個小球,有A32=6種放法,則有3+1+6=10種放法,故選:A.5.【答案】B【解析】解:由幾何體的三視圖可知,該幾何體為倒立圓錐,且圓錐的底面圓半徑為1,高為2,所以體積,故選:B.6.【答案】D【解析】解:開始:1.判斷為“是”,,,;17,2.判斷為“是”,,,;3.判斷為“是”,,,;4.判斷為“是”,,,;5.判斷為“是”,,,;6.判斷為“是”,,,;7.判斷為“否”,輸出.故選:D7.【答案】D【解析】解:不等式組對應的可行域如圖所示:由可得,故,將初始直線平移至時,有最小值為,故選:D.17,8.【答案】A【解析】解:因為||=2,||=2,所以|﹣|==,因為與﹣夾角的大小為,所以•(﹣)=|||﹣|cos=,又•(﹣)=2﹣•=4﹣•,所以=4﹣•,兩邊平方整理可得(•)2﹣6•=0,所以•=6或•=0,當•=6時,|﹣|=2,cos<,﹣>====﹣,此時與﹣夾角的大小為,與已知矛盾,舍去;當•=0,|﹣|=4,cos<,﹣>====,此時與﹣夾角的大小為,符合條件,綜上可得,•=0.故選:A.9.【答案】D【解析】解:由題意,函數,由函數的最小正周期,可得,所以A錯誤;由函數的最大值為,所以B錯誤;因為,可得,所以函數在上單調遞減,所以C錯誤;17,由,令,解得,當時,可得,所以的圖象關于直線對稱,所以D正確.故選:D.10.【答案】A【解析】解:函數的定義域為(﹣∞,0)∪(0,+∞),且,故f(x)為偶函數,由此排除選項BC,當x>1時,2xlnx2>0,4x+1>0,f(x)>0,由此排除選項D.故選:A.11.【答案】A【解析】解:,,故選:A.12.【答案】A【解析】解:如圖所示,設線段MF的中點為H,連接OH,設雙曲線的右焦點為F,連接MF.雙曲線的左焦點為F′,連接MF′,則OH∥MF′.又|OH|=|OF|=c=3,|FH|=|MF|=(2a﹣2c)=a﹣c=1.17,設∠HFO=α,在△OHF中,tanα==,∴直線MF的斜率是﹣.故選:A.13.【答案】1【解析】解:∵奇函數y=f(x)的周期為2,且當x∈(0,1)時,f(x)=log2x.∴f(7.5)=f(1.5)=f(﹣0.5)=﹣f(0.5)=﹣log2=1,故答案為:1.14.【答案】4【解析】解:因為等比數列{an}(n∈N*)中,,,所以q3==8,即q=2,所以a8===4.故答案為:4.15.【答案】【解析】解:∵AB=9,BC=7,∴AB>BC,∴C>A,作CD=AD,交AB于D,則∠DCA=∠A,∴∠BCD=∠C﹣∠A,即cos∠BCD=,設AD=CD=x,則BD=9﹣x,在△BCD中,由余弦定理知,BD2=CD2+BC2﹣2CD•BCcos∠BCD,17,∴(9﹣x)2=x2+49﹣2•x•7•,解得x=6,∴AD=CD=6,BD=3,在△BCD中,由余弦定理知,cosB===.故答案為:.16.【答案】【解析】解:設圓心到直線距離為,則所以令(負值舍去)當時,;當時,,因此當時,取最大值,即取最大值為,故答案為:17.【答案】【解析】解:(Ⅰ)因為AB∥CD,cosA=,cos,所以sinA==,sin∠ADB==,cos∠BDC=cos[π﹣(A+∠ADB)]=﹣cos(A+∠ADB)=sinAsin∠ADB﹣cosAcos∠ADB=×﹣=.(Ⅱ)由已知及正弦定理,可得=,解得BD=3,由于cos∠BDC=,CD=,在△BCD中,由余弦定理可得BC===.17,18.【答案】(1)見解析,有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”.(2)見解析,【解析】解:(1)因為男生人數為:,所以女生人數為,于是可完成列聯表,如下:滿意不滿意總計男生302555女生501565合計8040120根據列聯表中的數據,得到的觀測值,所以有99%的把握認為對“線上教育是否滿意與性別有關”.(2)由(1)可知男生抽3人,女生抽5人,依題可知的可能取值為,并且服從超幾何分布,,即,.可得分布列為17,0123可得.19.【答案】【解析】(Ⅰ)證明:AA1⊥平面ABCD,則AA1⊥BD,又∵底面ABCD是正方形,∴對角線AC⊥BD,又AA1∩AC=A,∴BD⊥平面A1ACC1,而BD⊂平面A1BD,∴平面A1BD⊥平面A1ACC1;(Ⅱ)設平面α與A1B,A1D,B1B,D1D,C1C分別交于E,F,M,N,Q,設A1P=x,則AP=1﹣x,PE=PF=x,由題意,正方體ABCD﹣A1B1C1D1在平面α下方的部分被平面A1BD截得的兩部分的體積比是1:3,∴VPEF﹣ABD:VPMQN﹣ABCD=1:4,得,解得:或(舍).∴AP=1﹣x=1﹣.20.【答案】【解析】解:(1)由已知可得過F且垂直x軸的直線方程為x=1,17,聯立方程,解得y=,聯立方程,解得y=,所以,又因為a2=b2+1…②,聯立①②解得a2=2,b2=1,所以曲線C1的方程為,曲線C2的方程為x2+y2=3;(2)設直線l的方程為x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),聯立方程,消去x整理可得:(2+m2)y2+2my﹣1=0,所以y,所以|AB|===,又原點O到直線l的距離d=,所以三角形ABO的面積S==,整理可得:5m4﹣16m2﹣16=0,解得m2=4或﹣(舍去),所以m2=4,所以原點O到直線l的距離d=,則|CD|=2.21.【答案】【解析】解:(1)證明:由題意得f(x)的定義域為(0,+∞),,令f′(x)=0可得.17,所以當時,f′(x)<0,當時,f′(x)>0.故f(x)在上單調遞減,在上單調遞增.所以f(x)的最小值,所以,故,所以當時,f(x)≥0.(2)∵對任意的x∈(1,e),都有f(x)﹣x≤0,∴f(x)﹣x≤0在(1,e)上恒成立,(分離參數)故在(1,e)上恒成立,∴a≥g(x)max.令,在(1,e)上恒大于0,∴g(x)在(1,e)上單調遞增,∴g(x)的最大值為,∴.22.【答案】(1);(2).【解析】解:(1)由,得,則,即.因為,,所以.(2)將代入,得.設,兩點對應的參數分別為,,則,.所以.23.【答案】(1)(2)證明見詳解.17,【解析】(1)解:∵,∴.∴或或,解得或或.∴不等式的解集為.(2)證明:∵,又∵,∴.∴成立.17
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