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      高中數學高考沖刺經典題解析

      2021-10-281 9.99元 64頁 2.86 MB
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      高中數學高考沖刺經典題解析1.已知函數是定義在上的奇函數,若對于任意給定的不等實數,不等式恒成立,則不等式的解集為cA.B.C.D.2.若,則的大小關系是aA.B.C.D.3.已知點是重心,,若,則的最小值是cA.B.C.D.4.方程有且僅有兩個不同的實數解,則以下有關兩根關系的結論正確的是bAB.C.D.5.已知函數時,只有一個實根;當k∈(0,4)時,只有3個相異實根,現給出下列4個命題:①和有一個相同的實根;②有一個相同的實根;③的任一實根大于的任一實根; ④的任一實根小于任一實根.其中正確命題的序號是①②④6.B7. 8解:(Ⅰ)取AB的中點M,連結GM,MC,G為BF的中點,所以GM//FA,又EC面ABCD,FA面ABCD,∵CE//AF,∴CE//GM,………………2分∵面CEGM面ABCD=CM,EG//面ABCD,∴EG//CM,………………4分∵在正三角形ABC中,CMAB,又AFCM∴EGAB,EGAF, ∴EG面ABF.…………………6分(Ⅱ)建立如圖所示的坐標系,設AB=2,則B()E(0,1,1)F(0,-1,2)=(0,-2,1),=(,-1,-1),=(,1,1),………………8分設平面BEF的法向量=()則令,則,∴=()…………………10分同理,可求平面DEF的法向量=(-)設所求二面角的平面角為,則=.…………………12分9 解:(Ⅰ)莖葉圖……………………2分或………………2分 從統計圖中可以看出,乙的成績較為集中,差異程度較小,應選派乙同學代表班級參加比賽更好;………………4分(Ⅱ)設事件A為:甲的成績低于12.8,事件B為:乙的成績低于12.8,則甲、乙兩人成績至少有一個低于秒的概率為:;……………8分(此部分,可根據解法給步驟分:2分)(Ⅲ)設甲同學的成績為,乙同學的成績為,則,……………10分得,如圖陰影部分面積即為,則.…………12分10.解:(Ⅰ)設,,由,得,…………2分 代入,得.……………4分(Ⅱ)①當斜率不存在時,設,由已知得,由,得所以,當且僅當,即時,等號成立.此時最大值為.……………………5分②當斜率存在時,設其方程為,由,消去整理得,由,得①設,則②………7分③原點到直線距離為,④…………………9分由面積公式及③④得 ………………11分綜合①②,的最大值為,由已知得,所以.…………………12分11.解:(Ⅰ)的定義域為,若則在上單調遞增,……………2分若則由得,當時,當時,,在上單調遞增,在單調遞減.所以當時,在上單調遞增,當時,在上單調遞增,在單調遞減.……………4分(Ⅱ),令,,令, ,………………6分,,.……………8分(2),以下論證.……………10分,,,綜上所述,的取值范圍是………………12分12.△如圖,曲線是以原點為中心、為焦點的橢圓的一部分,曲線是以為頂點、為焦點的拋物線的一部分,是曲線和的交點且為鈍角,若,.(1)求曲線和的方程;(2)過作一條與軸不垂直的直線,分別與曲線依次交于四點,若為中點、為中點,問是否為定值?若是求出定值;若不是說明理由. 【解析】(1)解法一:設橢圓方程為,則,得.設,則,,兩式相減得,由拋物線定義可知,則或(舍去)所以橢圓方程為,拋物線方程為.解法二:過作垂直于軸的直線,即拋物線的準線,作垂直于該準線,作軸于,則由拋物線的定義得,所以,得,所以c=1,(,得),因而橢圓方程為,拋物線方程為. (2)設把直線13.等比數列中,函數,則=。14.。當對數函數的圖象至少經過區域內的一個點時,實數a的取值范圍為。15.已知P是圓上任意一點,點F2的坐標為(1,0),直線m分別與線段F1P、F2P交于M、N兩點,且(1)求點M的軌跡C的方程; (2)斜率為k的直線與曲線C交于P、Q兩點,若(O為坐標原點)。試求直線在y軸上截距的取值范圍; 16.設F1,F2是雙曲線 的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點P,使,且,則的值為(B)A.B.C.2D.3方法一:設點的坐標,列等式解決;方法二:用平行四邊形或三角形解決。17.已知P是橢圓上任一點,分別是橢圓的兩個焦點,若的周長為6,且橢圓的離心率為。求橢圓的標準方程;過橢圓的右焦點F作直線與橢圓交于A,B兩點,其中點A在x軸下方,且,試求以AB為直徑的圓的方程。若M(x,y)是(2)中所求圓上任一點,求的取值范圍。第二問要用多種方法來考慮:1列方程組得關于y的一元二次不等式,根與系數的關系;2。設元,列等式消元。18.已知公差不為0的等差數列中,成等比數列。已知數列的公差的取值范圍是,求的前9項和的取值范圍。若,且數列的前n項和為,若>0時,<恒成立,試求的公差的取值范圍。此題的關鍵是恒成立如何成立? 19.已知函數,則函數的不同零點共有個。20.如下圖是函數的圖象的一部分,則=A-3B2CD111ayx21.已知O為坐標原點,點A、B分別是橢圓C:的左頂點和上頂點,直線AB與圓G:相離(),P是直線AB上一動點,過點P作圓G的兩切線,切點分別為M、N。(1)當c為定值時,求證:直線MN經過一定點E,并求的值。(2)若存在點P使得為正三角形,試求橢圓離心率的取值范圍。 ABPMNOyx22.已知函數。函數在上是減函數,函數在上是增函數。(1)求函數f(x),g(x)的表達式。(2)若不等式f(x)≥mg(x)對恒成立,求實數m的取值范圍。23.在四邊形ABCD中,AB=2,,則四邊形ABCD的面積為。24.已知x,y滿足條件,點M(2,1),點P(x,y),那么的最大值為。25.若0<,且為偶函數,則a+2b的最 小值為。26.過雙曲線的左焦點F作圓的一條切線(切點為T)交雙曲線左支于點M,交雙曲線右支于點P。若M為線段FP的中點,則()A1B2C3D427.設偶函數f(x)=loga|x+b|在(0,+∞)上單調,則f(b-2)與f(a+1)的大小關系為A.f(b-2)=f(a+1)B.f(b-2)>f(a+1)C.f(b-2)-242.(本小題滿分12分)已知方向向量為的直線l過橢圓的焦點以及點(0,),直線l與橢圓C交于A、B兩點,且A、B兩點與另一焦點圍成的三角形周長為。(1)求橢圓C的方程(2)過左焦點且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點,(O坐標原點),求直線m的方程解:(1)直線與x軸交點即為橢圓的右焦點∴c=2由已知⊿周長為,則4a=,即,所以故橢圓方程為………………………………4分(2)橢圓的左焦點為,則直線m的方程可設為代入橢圓方程得:設………6分∵所以,,即……………9分 又原點O到m的距離,則解得…………………………12分43.(本小題滿分12分)為了普及環保知識,增強環保意識,某大學從理工類專業的A班和文史類專業的B班各抽取20名同學參加環保知識測試.兩個班同學的成績(百分制)的莖葉圖如圖所示:按照大于或等于80分為優秀,80分以下為非優秀統計成績.(1)完成下面2X2列聯表,并判斷能否有95%的把握認為環保知識測試成績與專業有關 (2)從B班參加測試的20人中選取2人參加某項活動,2人中成績優秀的人數記為X,求X的分布列與數學期望.附:44.已知函數是定義域為的偶函數,f(x)且在上單調遞增,則不等式的解集為(D)A.B.C.D.45.由曲線圍成的圖形的面積等于(A)A.B.C.D. ABCDPE46.不等式對恒成立,則x的取值范圍是________________.x≤-1或x≥47.已知正方形ABCD邊長為1,圖形如示,點E為邊BC的中點,正方形內部一動點P滿足:P到線段AD的距離等于P到點E的距離,那么P點的軌跡與正方形的上、下底邊及BC邊所圍成平面圖形的面積為_________.48.(本小題滿分12分)已知函數f(x)是定義在[-e,0)∪(0,e]上的奇函數,當x∈(0,e],f(x)=ax+lnx(其中e是自然對數的底數,a∈R)(1)求f(x)的解析式;(2)設g(x)=,x∈[-e,0),求證:當a=-1時,f(x)>g(x)+;(3)是否存在實數a,使得當x∈[-e,0)時f(x)的最小值是3如果存在,求出實數a的值;如果不存在,請說明理由. 49.已知雙曲線的左右焦點是,設是雙曲線右支上一點,在上的投影的大小恰好為,且它們的夾角為,則雙曲線的離心率是. 50.設集合,函數且,則的取值范圍是.51.(本小題滿分12分):已知圓的圓心在坐標原點,且恰好與直線相切.(Ⅰ)求圓的標準方程;(Ⅱ)設點為圓上一動點,軸于,若動點滿足,(其中為非零常數),試求動點的軌跡方程;(Ⅲ)在(Ⅱ)的結論下,當時,得到曲線,與垂直的直線與曲線交于、兩點,求面積的最大值.解:(Ⅰ)設圓的半徑為,圓心到直線距離為,則2分圓的方程為3分(Ⅱ)設動點,,軸于,由題意,,所以5分即:,將2009051520090515代入,得7分(Ⅲ)時,曲線方程為,設直線的方程為8分設直線與橢圓交點 聯立方程得9分因為,解得,且……10分點到直線的距離.(當且僅當即時取到最大值)面積的最大值為.12分52.(本小題滿分12分):設函數(Ⅰ)當時,求函數的極值;(Ⅱ)當時,討論函數的單調性.(Ⅲ)若對任意及任意,恒有成立,求實數的取值范圍.解:(Ⅰ)函數的定義域為.當時,2分當時,當時,無極大值.4分(Ⅱ)5分當,即時, 在定義域上是減函數;當,即時,令得或令得當,即時,令得或令得綜上,當時,在上是減函數;當時,在和單調遞減,在上單調遞增;當時,在和單調遞減,在上單調遞增;8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知,當時,在上單減,是最大值,是最小值.,10分而經整理得,由得,所以12分53.在所在的平面內有一點P,如果,那么的面積與的面積之比是AA.B.C.D.54.在區間[-1,1]上任取兩數s和t,則關于x的方程的兩根都是正數的概率為B A.B.C.D.55.已知函數是上的奇函數,且當時,函數若>,則實數的取值范圍是DA.B.C.D.56.(本小題滿分12分)在平面直角坐標系中,點為動點,已知點,,直線與的斜率之積為.(I)求動點軌跡的方程;(II)過點的直線交曲線于兩點,設點關于軸的對稱點為(不重合),求證:直線過定點.解一:(1)由題知:…………2分化簡得:……………………………4分(2)設,:,代入整理得…………6分,,………………………………8分的方程為令,得………10分 直線過定點.………………12分解二:設,:,代入整理得…………6分,,…………8分的方程為令,得……10分直線過定點.…………12分解三:由對稱性可知,若過定點,則定點一定在軸上,設,:,代入整理得…………6分,,…………8分設過定點,則,而則…………10分直線過定點.…………12分 57.設點是橢圓上一點,分別是橢圓的左、右焦點,為的內心,若,則該橢圓的離心率是(A)(A)(B)(C)(D)58. 已知函數,把函數g(x)=f(x)-x+1的零點按從小到大的順序排列成一個數列,則該數列的前n項的和,則=(C):A.B.C.45D.5559.設函數,則的值為________.60.?。ū拘☆}滿分12分)設,.(1)當時,求曲線在處的切線方程;(2)如果存在,使得成立,求滿足上述條件的最大整數;(3)如果對任意的,都有成立,求實數的取值范圍.解:(1)當時,,,,,所以曲線在處的切線方程為;4分 (2)存在,使得成立等價于:,考察,,遞減極(最)小值遞增由上表可知:,,所以滿足條件的最大整數;8分3)當時,恒成立,等價于恒成立,記,,。記,,由于,,所以在上遞減,又h/(1)=0,當時,,時,,即函數在區間上遞增,在區間上遞減,所以,所以。12分(3)另解:對任意的,都有成立等價于:在區間上,函數的最小值不小于 的最大值,由(2)知,在區間上,的最大值為。,下證當時,在區間上,函數恒成立。當且時,,記,,當,;當,,所以函數在區間上遞減,在區間上遞增,,即,所以當且時,成立,即對任意,都有。12分61.已知拋物線的焦點為,準線與軸的交點為,為拋物線上的一點,則滿足=62.(本小題共12分)已知函數的部分圖象如圖所示.(I)求函數的解析式;(II)在△中,角的對邊分別是若的取值范圍.(1)由圖像知,的最小正周期,故…(2分)將點代入的解析式得,又 故所以………………4分ks5u(2)由得所以……………………6分因為所以………………8分……………………10分……………………12分63.(本小題滿分12分)已知函數,其中.(Ⅰ)若是的極值點,求的值;(Ⅱ)求的單調區間;ks5u(Ⅲ)若在上的最大值是,求的取值范圍.(Ⅰ)解:.依題意,令,解得.經檢驗,時,符合題意.……4分(Ⅱ)解:①當時,.ks5u故的單調增區間是;單調減區間是.②當時,令,得,或.當時,與的情況如下:↘↗↘所以,的單調增區間是;單調減區間是和 .當時,的單調減區間是.當時,,與的情況如下:↘↗↘所以,的單調增區間是;單調減區間是和.③當時,的單調增區間是;單調減區間是.綜上,當時,的增區間是,減區間是;當時,的增區間是,減區間是和;當時,的減區間是;當時,的增區間是;減區間是和.ks5u……10分(Ⅲ)由(Ⅱ)知時,在上單調遞增,由,知不合題意.當時,在的最大值是,由,知不合題意.當時,在單調遞減, 可得在上的最大值是,符合題意.所以,在上的最大值是時,的取值范圍是.…………12分64.若滿足,滿足,函數,則關于的方程的解的個數是C:A.B.C.D.65.如圖,在直角梯形中,,∥,,,動點在以點為圓心,且與直線相切的圓上或圓內移動,設(,),則取值范圍是AA.B.C.D.66.若橢圓的焦點在軸上,過點(1,)作圓的切線,切點分別為A,B,直線恰好經過橢圓的右焦點和上頂點,則橢圓方程是67.在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,q=(,1),p=(,)且.求:(I)求sinA的值;(II)求三角函數式的取值范圍. 解:(I)∵,∴,…………(2分)根據正弦定理,得,又,…………(4分),,,又;sinA=…………(6分)(II)原式,…………(8分),…………(10分)∵,∴,∴,∴,∴的值域是.…………(12分)68.定義域為R的函數f(x)滿足f(1)=l,且f(x)的導函數>,則滿足2f(x)0時,設的圖象C1與的圖象C2相交于兩個不同的點P、Q,過線段PQ的中點作x軸的垂線交C1于點,求證.解:(Ⅰ)當時,若,則,原命題等價于在R上有解.……………2分法一:當時,顯然成立; 當時,∴ ,即.綜合所述?。?分法二:等價于在R上有解,即∴?。?分(Ⅱ)設,不妨設,則,,,兩式相減得:,……………7分整理得則,于是,…………………9分而令,則設,則,∴ 在上單調遞增,則,于是有,即,且, ∴ ,即.…………………12分76.設函數在處有極值,(1)求函數的單調區間。(2)設,若恒成立,求實數k的范圍。77.是偶函數,且在[0,+)上是增函數,不等式對x∈[,1]恒成立,則實數a的取值范圍是AA.[-2,0]B.[-5,0]C.[-5,1]D.[-2,1]78.設x,y滿足約束條件,若目標函數(其中b>a〉0)的最大值為5,則8a+b的最小值為CA.3B.4C.5D.679.ΔABC的外接圓圓心為O,半徑為2,,且,向量在方向上的投影為AA.B.C.3D.—380.若,則二項式展開式中常數項是________.-16081.在中,角A,B,C;的對邊為a,b,c,點(a,b)在直線上.(I)求角C的值; (II)若,求ΔABC的面積.(I)由題得,由正弦定理得,即.………………3分由余弦定理得,結合,得.………………6分(II)由得,從而.………………9分所以的面積,………………12分已知橢圓的左焦點為F,左右頂點分別為A、C,上頂點為B,O為原點,P為橢圓上任意一點.過F,B,C三點的圓的圓心坐標為(m,n)(I)當時,求楠圓的離心率的取值范圍;(II)在(I)的條件下,橢圓的離心率最小時,若點D(b+1,0),的最小值為.,求橢圓的方程.解:(Ⅰ)設半焦距為c.由題意的中垂線方程分別為,于是圓心坐標為.………………2分所以=,即,即 ,所以,于是即,所以,即.………………5分(II)當時,,此時橢圓的方程為,設,則,所以.…8分當時,上式的最小值為,即=,得;………………10分當時,上式的最小值為,即=,解得不合題意,舍去.綜上所述,橢圓的方程為.………………12分已知函數在x=0,處存在極值.(I)求實數a、b的值;(II)函數y=f(x)的圖像上存在兩點A,B使得是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形,且斜邊AB的中點在y軸上,求實數c的取值范圍; (III)當c=e時,討論關于x的方程的實根個數.解(I)當時,.………………1分因為函數f(x)在處存在極值,所以解得.………………3分(II)由(I)得根據條件知A,B的橫坐標互為相反數,不妨設.若,則,由是直角得,,即,即.此時無解;………………5分若,則.由于AB的中點在軸上,且是直角,所以B點不可能在軸上,即.同理有,即=0,.因為函數在上的值域是,所以實數的取值范圍是.………………7分(III)由方程,知,可知0一定是方程的根,………………8分所以僅就時進行研究:方程等價于構造函數 對于部分,函數的圖像是開口向下的拋物線的一部分,當時取得最大值,其值域是;對于部分,函數,由,知函數在上單調遞增.所以,①當或時,方程有兩個實根;②當時,方程有三個實根;③當時,方程有四個實根.………………12分已知函數,且圖像在點處的切線斜率為為自然對數的底數).(I)求實數a的值;(II)設,求的單調區間;(III)當時,證明:.解:(Ⅰ),,依題意,所以.……2分(Ⅱ)因為,,所以,.設,則……4分當時,是增函數.對,,即當時,,故在上為增函數,……6分 當時,.是減增函數.對,,即當時,,故在上為增函數,所以,的單調增區間為,.……8分(Ⅲ)要證,即證,即,.……10分,因為,由⑵知,,所以.……12分已知集合,定義函數.若點的外接圓圓心為D,且,則滿足條件的函數有C:A.6個B.10個C.12個D.16個過雙曲線的左焦點,作圓的切線,切點為,延長交雙曲線右支于點,若,則雙曲線的離心率為CA.B.C.D.在中,是邊中點,角,,的對邊分別是,,,若,則的形狀為CA.直角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形但不是等邊三角形. 直線()與函數,的圖象分別交于、兩點,當最小時,值是BA.B.C.D.在直角坐標系xOy中,長為的線段的兩端點C、D分別在x軸、y軸上滑動,.記點P的軌跡為曲線E.(I)求曲線E的方程;(II)經過點(0,1)作直線l與曲線E相交于A、B兩點,當點M在曲線E上時,求的值.解:(Ⅰ)設C(m,0),D(0,n),P(x,y).由=,得(x-m,y)=(-x,n-y),∴得…2分由||=+1,得m2+n2=(+1)2,∴(+1)2x2+y2=(+1)2,整理,得曲線E的方程為x2+=1.…5分(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2),由=+,知點M 坐標為(x1+x2,y1+y2).設直線l的方程為y=kx+1,代入曲線E方程,得(k2+2)x2+2kx-1=0,則x1+x2=-,x1x2=-.…7分y1+y2=k(x1+x2)+2=,由點M在曲線E上,知(x1+x2)2+=1,即+=1,解得k2=2.…9分這時x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k(x2+x2)+1=-,(x+y)(x+y)=(2-x)(2-x)=4-2(x+x)+(x1x2)2=4-2[(x1+x2)2-2x1x2]+(x1x2)2=,cosá,?==-.…12分已知.(I)求函數f(x)的最小值;(II)(i)設(ii)若,且證明:解: (Ⅰ)f¢(x)=x-=.…1分當x∈(0,a)時,f¢(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(a,+∞)時,f¢(x)>0,f(x)單調遞增.當x=a時,f(x)取得極小值也是最小值f(a)=a2-a2lna.…4分(Ⅱ)(?。┰Og(t)=f(a+t)-f(a-t),則當0<t<a時,g¢(t)=f¢(a+t)+f¢(a-t)=a+t-+a-t-=<0,…6分所以g(t)在(0,a)單調遞減,g(t)<g(0)=0,即f(a+t)-f(a-t)<0,故f(a+t)<f(a-t).…8分(ⅱ)由(Ⅰ),f(x)在(0,a)單調遞減,在(a,+∞)單調遞增,不失一般性,設0<x1<a<x2,因0<a-x1<a,則由(?。?,得f(2a-x1)=f(a+(a-x1))<f(a-(a-x1))=f(x1)=f(x2),…11分 又2a-x1,x2∈(a,+∞),故2a-x1<x2,即x1+x2>2a.…12分
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